Sách bài tập Toán 9 Bài 8 (Kết nối tri thức): Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Bài 3.8 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1:So sánh:

a) $\sqrt{5}.\sqrt{11}$ và $\sqrt{56}$;

b) $\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{3}}$ và 7.

Lời giải:

a) Ta có: $\sqrt{5}.\sqrt{11}=\sqrt{5.11}=\sqrt{55}<\sqrt{56}$

Vậy $\sqrt{5}.\sqrt{11}<\sqrt{56}$

b) Ta có: $\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{141}{3}}=\sqrt{47}<\sqrt{49}=7$

Vậy $\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{3}}<7$

Bài 3.9 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1:Không dùng MTCT, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt{1\frac{2}{3}}:\sqrt{\frac{1}{15}};$

b) $\sqrt{\mathrm{4,9}}.\sqrt{1000}$

Lời giải:

a) $\sqrt{1\frac{2}{3}}:\sqrt{\frac{1}{15}}$

$=\sqrt{\frac{5}{3}}:\sqrt{\frac{1}{15}}$

$=\sqrt{\frac{5}{3}:\frac{1}{15}}$

$=\sqrt{\frac{5}{3}.15}$

$=\sqrt{\frac{5}{3}\mathrm{.5.3}}$

$=\sqrt{5.5}$=5

b) $\sqrt{\mathrm{4,9}}.\sqrt{1000}$

$=\sqrt{\mathrm{4,9.1000}}$

$=\sqrt{\mathrm{4,9.10.100}}$

$=\sqrt{49.100}$

$=\sqrt{7^2{.10}^2}$

= 7 . 10 = 70.

Bài 3.10 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không dùng MTCT, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên:

a) $\sqrt{8+\sqrt{15}}.\sqrt{8-\sqrt{15}}$

b) ${\left(\sqrt{6-\sqrt{11}}+\sqrt{6+\sqrt{11}}\right)}^2$

Lời giải:

a) $\sqrt{8+\sqrt{15}}.\sqrt{8-\sqrt{15}}$

$=\sqrt{\left(8+\sqrt{15}\right)\left(8-\sqrt{15}\right)}$

$=\sqrt{8^2-{\left(\sqrt{15}\right)}^2}$

$=\sqrt{64-15}=\sqrt{49}$ = 7

b) ${\left(\sqrt{6-\sqrt{11}}+\sqrt{6+\sqrt{11}}\right)}^2$

$={\left(\sqrt{6-\sqrt{11}}\right)}^2+{\left(\sqrt{6+\sqrt{11}}\right)}^2+2\sqrt{\left(6-\sqrt{11}\right)\left(6+\sqrt{11}\right)}$

$=6-\sqrt{11}+6+\sqrt{11}+2\sqrt{6^2-{\left(\sqrt{11}\right)}^2}$

$=12+2\sqrt{36-11}=12+2\sqrt{25}$

= 12 + 2 . 5 = 22.

Bài 3.11 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không dùng MTCT, hãy tính giá trị của biểu thức sau:

$P=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.\sqrt{4+\sqrt{8}}$

Lời giải:

$P=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.\sqrt{4+\sqrt{8}}$

$=\sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{2}}\right).\left(2-\sqrt{2+\sqrt{2}}\right).\left(4+\sqrt{8}\right)}$

$=\sqrt{\left.2^2-{\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)}^2\right].\left(4+\sqrt{8}\right)}$

$=\sqrt{\left.4-\left(2+\sqrt{2}\right)\right].\left(4+\sqrt{4.2}\right)}$

$=\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right).\left(4+2\sqrt{2}\right)}$

$=\sqrt{2\left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}$

$=\sqrt{2\left.2^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2\right]}$

$=\sqrt{2\left(4-2\right)}=\sqrt{2.2}=2$

Bài 3.12 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức$P=\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{20}-3\sqrt{6}-\sqrt{12}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}.$

Lời giải:

$P=\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{20}-3\sqrt{6}-\sqrt{12}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$=\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{10.2}-3\sqrt{6}-\sqrt{6.2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$=\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{10}.\sqrt{2}-3\sqrt{6}-\sqrt{6}.\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$=\frac{\sqrt{10}\left(3+\sqrt{2}\right)-\sqrt{6}\left(3+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$=\frac{\left(\sqrt{10}-\sqrt{6}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$=\frac{\left(\sqrt{5.2}-\sqrt{3.2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$=\frac{\left(\sqrt{2}.\sqrt{5}-\sqrt{2}.\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$=\sqrt{2}\left(3+\sqrt{2}\right)=2+3\sqrt{2}$

Vậy $P=2+3\sqrt{2}$

Bài 3.13 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: So sánh$\sqrt{\sqrt{6+\sqrt{20}}}$và $\sqrt{\sqrt{6}+1}$.

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{\sqrt{6+\sqrt{20}}}$

$=\sqrt{\sqrt{5+\sqrt{20}+1}}$

$=\sqrt{\sqrt{5+\sqrt{4.5}+1}}$

$=\sqrt{\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2+2\sqrt{5}.1+1^2}}$

$=\sqrt{\sqrt{{\left(\sqrt{5}+1\right)}^2}}=\sqrt{\sqrt{5}+1}<\sqrt{\sqrt{6}+1}$

Vậy $\sqrt{\sqrt{6+\sqrt{20}}}<\sqrt{\sqrt{6}+1}$

Bài 3.14 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho a, b là hai số dương khác nhau thoả mãn điều kiện$a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}$. Chứng minh rằng a²+ b²= 1

Lời giải:

Ta có:

$a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}$

$a+\sqrt{1-a^2}=b+\sqrt{1-b^2}$

${\left(a+\sqrt{1-a^2}\right)}^2={\left(b+\sqrt{1-b^2}\right)}^2$

$a^2+2.a.\sqrt{1-a^2}+{\left(\sqrt{1-a^2}\right)}^2=b^2+2.b.\sqrt{1-b^2}+{\left(\sqrt{1-b^2}\right)}^2$

$a^2+2a\sqrt{1-a^2}+1-a^2=b^2+2b\sqrt{1-b^2}+1-b^2$

$2a\sqrt{1-a^2}=2b\sqrt{1-b^2}$

$a\sqrt{1-a^2}=b\sqrt{1-b^2}$

${\left(a\sqrt{1-a^2}\right)}^2={\left(b\sqrt{1-b^2}\right)}^2$

$a^2\left(1-a^2\right)=b^2\left(1-b^2\right)$

$a^2-a^4=b^2-b^4$

$a^4-b^4-\left(a^2-b^2\right)=0$

$\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a^2-b^2\right)=0$

$\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-1\right)=0$

Theo đề bài, a và b là hai số khác nhau nên a² – b² ≠ 0, nên để $\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-1\right)=0$ thì a² + b² – 1 = 0 hay a² + b² = 1. (đpcm)

Lý thuyết Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

1. Khai căn bậc hai và phép nhân

Liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép nhân

Với A, B là biểu thức không âm, ta có $\sqrt{A}.\sqrt{B}=\sqrt{AB}$.

Ví dụ:

$\sqrt{27}.\sqrt{3}=\sqrt{27.3}=\sqrt{81}=9$

$\sqrt{5}\left(\sqrt{125}+\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}.\sqrt{125}+\sqrt{5}.\sqrt{5}=\sqrt{5.125}+\sqrt{5.5}=25+5=30$

Chú ý:

- Kết quả trên có thể mở rộng cho nhiều biểu thức không âm, chẳng hạn:

$\sqrt{A}.\sqrt{B}.\sqrt{C}=\sqrt{A.B.C}$ (với $A\ge 0,B\ge 0,C\ge 0$).

Ví dụ: $\sqrt{3}.\sqrt{5}.\sqrt{15}=\sqrt{\mathrm{3.5.15}}=\sqrt{225}=15$

- Nếu $A\ge 0,B\ge 0,C\ge 0$ thì $\sqrt{A^2{B}^2{C}^2}=ABC$.

Ví dụ: Với $a\ge 0,b<0$ thì$\sqrt{25a^2{b}^2}=\sqrt{5^2.a^2.{\left(-b\right)}^2}=\sqrt{5^2}.\sqrt{a^2}.\sqrt{{\left(-b\right)}^2}=5.a.\left(-b\right)=-5ab$

2. Khai căn bậc hai và phép chia

Liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép chia

Nếu A, B là các biểu thức với $A\ge 0,B>0$ thì $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}$.

Ví dụ: $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2$;

Với $a>0$ thì $\frac{\sqrt{52a^3}}{\sqrt{13a}}=\sqrt{\frac{52a^3}{13a}}=\sqrt{4a^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2}=2a$.