Sách bài tập Toán 9 Bài 7 (Kết nối tri thức): Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Giải SBT Toán 9 Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Bài 3.1 trang 31 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) 81;

b) $\frac{16}{125}$

c) 0,0121;

d) 6 400.

Lời giải:

Ta thấy:

a) 81 = 9² = (–9)² nên căn bậc hai của 81 là 9 và –9.

b) $\frac{16}{125}={\left(\frac{4}{25}\right)}^2=\left(-\frac{4}{25}\right)$ nên căn bậc hai của $\frac{16}{125}$ là $\frac{4}{25}$ và -$\frac{4}{25}$

c) 0,0121 = 0,11² = (–0,11)² nên căn bậc hai của 0,0121 là 0,11 và –0,11.

d) 6 400 = 80² = (–80)² nên căn bậc hai của 6 400 là 80 và –80.

Bài 3.2 trang 32 sách bài tập Toán 9 Tập 1:Sử dụng MTCT tính:

a) $\sqrt{17}$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba);

b) Các căn bậc hai của 4 021 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm);

c) Giá trị biểu thức $\frac{-11+\sqrt{{11}^2-\mathrm{4.3.2}}}{2.3}$ (làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005).

Lời giải:

a) Nhập trên máy tính:

Ta được kết quả $\sqrt{17}\approx \mathrm{4,123}$

b) Nhập trên máy tính:

Ta được kết quả $\sqrt{4021}\approx \mathrm{63,41}$

c) Nhập trên máy tính:

Ta được kết quả $\frac{-11+\sqrt{{11}^2-\mathrm{4.3.2}}}{2.3}\approx -\mathrm{0,19}$

Bài 3.3 trang 32 sách bài tập Toán 9 Tập 1:Rút gọn:

a) ${\left(\sqrt{\mathrm{4,1}}\right)}^2-{\left(-\sqrt{\mathrm{6,1}}\right)}^2$

b) ${\left(\sqrt{101}\right)}^2-\sqrt{{\left(-99\right)}^2}$

c) $\sqrt{{\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}^2}-\left(-\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)$

d) $\sqrt{{\left(\sqrt{10}+3\right)}^2}-\sqrt{{\left(\sqrt{10}-3\right)}^2}$

Lời giải:

a) ${\left(\sqrt{\mathrm{4,1}}\right)}^2-{\left(-\sqrt{\mathrm{6,1}}\right)}^2$

= 4,1 – 6,1 = –2.

b) ${\left(\sqrt{101}\right)}^2-\sqrt{{\left(-99\right)}^2}$

= 101 – 99 = 2.

c) $\sqrt{{\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}^2}-\left(-\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)$

$=\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)-\left(-\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)$

$=\sqrt{3}+2\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}$$=2\sqrt{3}$

d) $\sqrt{{\left(\sqrt{10}+3\right)}^2}-\sqrt{{\left(\sqrt{10}-3\right)}^2}$

$=\sqrt{10}+3-\left(\sqrt{10}-3\right)$

$=\sqrt{10}+3-\sqrt{10}+3=6.$

Bài 3.4 trang 32 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hiệu hai bình phương và bình phương của một hiệu, rút gọn:

a) $\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$

b) $\sqrt{2-2\sqrt{2}+1}$

Lời giải:

a) $\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$

$={\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2$

= 3 – 2 = 1

b) $\sqrt{2-2\sqrt{2}+1}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{2}+1}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}$

$=\left.\sqrt{2}-1\right|$

$=\sqrt{2}-1$

Bài 3.5 trang 32 sách bài tập Toán 9 Tập 1:Khi giải phương trình ax²+ bx + c = 0 (a, b, c là ba số thực đã cho, a ≠ 0), ta phải tính giá trị của căn thức bậc hai$\sqrt{b^2-4ac}$. Hãy tính giá trị của căn thức này với các phương trình sau:

a) x² + 5x + 6 = 0;

b) 4x² – 5x – 6 = 0;

c) –3x² – 2x + 33 = 0.

Lời giải:

a) Xét phương trình x² + 5x + 6 = 0

Ta có: a = 1, b = 5, c = 6

$\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{5^2-\mathrm{4.1.6}}=\sqrt{1}=1$

b) Xét phương trình 4x² – 5x – 6 = 0

Ta có: a = 4, b = –5, c = –6

$\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{{\left(-5\right)}^2-\mathrm{4.4.}\left(-6\right)}=\sqrt{121}=\sqrt{{11}^2}=11$

c) Xét phương trình –3x² – 2x + 33 = 0.

Ta có: a = –3, b = –2, c = 33

$\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2-4.\left(-3\right).33}=\sqrt{400}=\sqrt{{20}^2}=20$

Bài 3.6 trang 32 sách bài tập Toán 9 Tập 1:Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{49x^4}-3x^2$;

b) $\sqrt{a^6{\left(a-b\right)}^2}:\left(a-b\right)$ với a < b < 0.

Lời giải:

a) $\sqrt{49x^4}-3x^2$

$=\sqrt{{\left(7x^2\right)}^2}-3x^2$

= 7x² – 3x² = 4x².

Vậy $\sqrt{49x^4}-3x^2=4x^2$

b) $\sqrt{a^6{\left(a-b\right)}^2}:\left(a-b\right)$ với a < b < 0.

$=\frac{\sqrt{a^6{\left(a-b\right)}^2}}{a-b}$

$=\frac{\sqrt{{\left(a^3\right)}^2{\left(a-b\right)}^2}}{a-b}$

$=\frac{\left.a^3.\left(a-b\right)\right|}{a-b}$

Vì a < b < 0 nên a – b < 0 hay $\left.a^3\left(a-b\right)\right|=a^3\left(a-b\right)$, suy ra

$\sqrt{a^6{\left(a-b\right)}^2}:\left(a-b\right)$

$=\frac{\left.a^3.\left(a-b\right)\right|}{a-b}$

$=\frac{a^3.\left(a-b\right)}{a-b}$ = a³.

Vậy với a < b < 0 thì $\sqrt{a^6{\left(a-b\right)}^2}:\left(a-b\right)=a^3$.

Bài 3.7 trang 32 sách bài tập Toán 9 Tập 1:Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức$\sqrt{25{\left(4x^2-4x+1\right)}^2}$tại$x=\sqrt{3}$.

Lời giải:

$\sqrt{25{\left(4x^2-4x+1\right)}^2}$

$=\sqrt{5^2.\left.{\left(2x\right)}^2-2.2x.1+1^2\right]}$

$=\sqrt{5^2.{\left(2x-1\right)}^2}$

$=\sqrt{{\left.5\left(2x-1\right)\right]}^2}$

$=\left.5\left(2x-1\right)\right|$

Thay $x=\sqrt{3}$ vào biểu thức $\sqrt{25{\left(4x^2-4x+1\right)}^2}$ ta được:

$\sqrt{25{\left(4x^2-4x+1\right)}^2}$

$=\left.5\left(2x-1\right)\right|$

$=\left.5\left(2.\sqrt{3}-1\right)\right|$

$=\left.10\sqrt{3}-5\right|$

$=10\sqrt{3}-5$

Vậy với $x=\sqrt{3}$ thì $\sqrt{25{\left(4x^2-4x+1\right)}^2}=10\sqrt{3}-5$

Lý thuyết Căn bậc hai và căn thức bậc hai

1. Căn bậc hai

Khái niệm căn bậc hai

Căn bậc hai của số thực không âm a là số thực x sao cho$x^2=a$.

Nhận xét:

- Số âm không có căn bậc hai.

- Số 0 có một căn bậc hai duy nhất là 0.

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai đối nhau là$\sqrt{a}$(căn bậc hai số học của a) và$-\sqrt{a}$.

Ví dụ:

• $\sqrt{81}=9$nên 81 có hai căn bậc hai là 9 và -9.
• Căn bậc hai số học của 121 là$\sqrt{121}=11$.

Tính căn bậc hai của một số bằng máy tính cầm tay

Để tính các căn bậc hai của một số$a>0$, chỉ cần tính$\sqrt{a}$. Có thể dễ dàng làm điều này bằng cách sử dụng MTCT. Sử dụng nút này để bấm căn bậc hai.

Ví dụ:

Bấm lần lượt các phím ta tính được$\sqrt{11,1}\approx 3,33$.

Vậy căn bậc hai của 11,1 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là 3,33 và -3,33.

Tính chất của căn bậc hai

$\sqrt{a^2}=\left|a\right|$với mọi số thực a.

Ví dụ:$\sqrt{{\left(1+\sqrt{2}\right)}^2}=\left|1+\sqrt{2}\right|=1+\sqrt{2}$;$\sqrt{{\left(-3\right)}^2}=\left|-3\right|=3$.

2. Căn thức bậc hai

Khái niệm căn thức bậc hai

Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng$\sqrt{A}$, trong đó A là một biểu thức đại số. A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Ví dụ:$\sqrt{2x-1}$,$\sqrt{-\frac{1}{3}x+2}$là các căn thức bậc hai.

Điều kiện xác định của căn thức bậc hai

$\sqrt{A}$xác định khi A lấy giá trị không âm và ta thường viết là$A\ge 0$. Ta nói$A\ge 0$là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của$\sqrt{A}$.

Ví dụ: Điều kiện xác định của căn thức$\sqrt{2x+1}$là$2x+1\ge 0$hay$x\ge -\frac{1}{2}$.

Điều kiện xác định của căn thức$\sqrt{-\frac{1}{3}x+2}$là$-\frac{1}{3}x+2\ge 0$hay$x\le 6$.

Hằng đẳng thức$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Với A là một biểu thức, ta có:

Với$A\ge 0$ta có$\sqrt{A}\ge 0$;${\left(\sqrt{A}\right)}^2=A$; $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$.

Ví dụ: Với$x<0$, ta có 1 – x > 0. Do đó${\left(\sqrt{1-x}\right)}^2=1-x$.