Lý thuyết Tính chất của phép khai phương - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Tính chất của phép khai phương

1. Căn thức bậc hai của một bình phương

•Với mọi số thực a, ta có $\sqrt{a^2}=\left.a\right|.$

•Với biểu thức A bất kì, ta có$\sqrt{A^2}=\left.A\right|,$ nghĩa là

+$\sqrt{A^2}=A$ khi A ≥ 0 (tức là khi A nhận giá trị không âm)

+$\sqrt{A^2}=-A$ khi A < 0 (tức là khi A nhận giá trị âm)

Ví dụ:Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2};$

b)$\sqrt{{\left(2n-\sqrt{7}\right)}^2}$ với n > 5;

c)$\sqrt{a^4}$ với a < 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:$\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}=\left.2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}$ (vì$2-\sqrt{3}>0$).

b) Ta có: $\sqrt{{\left(2n-\sqrt{7}\right)}^2}=\left.2n-\sqrt{7}\right|$

Với n > 5, suy ra $2n-\sqrt{7}>10-\sqrt{7}>0.$

Do đó, $\sqrt{{\left(2n-\sqrt{7}\right)}^2}=2n-\sqrt{7}.$

c) Ta có:$\sqrt{a^4}=\sqrt{{\left(a^2\right)}^2}=\left.a^2\right|=a^2$ (do a²≥ 0).

2. Căn thức bậc hai của một tích

•Với hai số thực a và b không âm, ta có:

$\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}.$

•Với hai biểu thức A và B nhận giá trị không âm, ta có:

$\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}.$

Ví dụ:Tính:

a) $\sqrt{10}.\sqrt{8};$

b) $\sqrt{1,6}.\sqrt{3}.\sqrt{5}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{10}.\sqrt{8}=\sqrt{10.8}=\sqrt{180}=\sqrt{6^2.5}=6\sqrt{5}.$

b) Ta có: $\sqrt{1,6}.\sqrt{3}.\sqrt{5}=\sqrt{1,\mathrm{6.3.5}}=\sqrt{24}=\sqrt{2^2.6}=2\sqrt{6}.$

•Với số thực a bất kì và b không âm, ta có

$\sqrt{a^{2}b}=\left.a\right|\sqrt{b}.$

+ Biến đổi này được gọi là đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

•Ngược lại, ta có biến đổi đưa thừa số vào trong dấu căn:

+ Nếu a ≥ 0 thì $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}.$

+ Nếu a < 0 thì $a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b}.$

Nhận xét:Tổng quát hơn, với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0, ta có $\sqrt{A^{2}B}=\left.A\right|\sqrt{B}.$

Ví dụ:Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai:

a) $5\sqrt{3}$

b) $-2\sqrt{7};$

c)$b\sqrt{\frac{3}{b}}$ với b > 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $5\sqrt{3}=\sqrt{5^2.3}=\sqrt{75}.$

b) Ta có: $-2\sqrt{7}=-\sqrt{2^2.7}=-\sqrt{28}.$

c) Ta có:$b\sqrt{\frac{3}{b}}=\sqrt{b^2.\frac{3}{b}}=\sqrt{3b}$ (vì b > 0).

3. Căn thức bậc hai của một thương

•Với số thực a không âm và số thực b dương, ta có

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$

•Với biểu thức A nhận giá trị không âm và biểu thức B nhận giá trị dương, ta có

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}.$

Ví dụ:Tính:

a) $\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}};$

b) $\sqrt{16}:\sqrt{8};$

c) $\sqrt{0,7}:\sqrt{1,4}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{60}{5}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$

b) Ta có: $\sqrt{16}:\sqrt{8}=\sqrt{\frac{16}{8}}=\sqrt{2}.$

c) Ta có: $\sqrt{0,7}:\sqrt{1,4}=\sqrt{\frac{0,7}{1,4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Sơ đồ tư duy Tính chất của phép khai phương

Bài tập Tính chất của phép khai phương

Bài 1.Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{7^2.5};$

b)$\sqrt{100a^2}$ với a < 0;

c)$\sqrt{6b}.\sqrt{24b}-4b$ với b ≥ 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{7^2.5}=7\sqrt{5}.$

b) Ta có:$\sqrt{100a^2}=\sqrt{{\left(10a\right)}^2}=\left.10a\right|=-10a$ với a < 0.

c) Với b ≥ 0, ta có:

$\sqrt{6b}.\sqrt{24b}-4b=\sqrt{6b.24b}-4b=\sqrt{144b^2}-4b$

$=\sqrt{{\left(12b\right)}^2}-4b=\left.12b\right|-4b=12b-4b=8b$

Bài 2.Cho hình chữ nhật có chiều rộng a (cm), chiều dài b (cm) và diện tích S (cm²).

a) Tìm S, biết $a=\sqrt{6},$ $b=\sqrt{48};$

b) Tìm a, biết $S=5\sqrt{6},$ $b=\sqrt{3}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: S = a.b

$=\sqrt{6}.\sqrt{48}$$=\sqrt{6.48}$

=$\sqrt{288}$$=12\sqrt{2}$

Vậy$S=12\sqrt{2}$ cm².

b) Ta có: a = S : b

$=5\sqrt{6}:\sqrt{3}$

$=5\sqrt{\frac{6}{3}}$$=5\sqrt{2}$

Vậy $a=5\sqrt{2}$cm

Bài 3.Tính:

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{{\left(-9\right)}^2}=\left.-9\right|=9.$

b) Ta có: $\sqrt{{\left(-\frac{6}{7}\right)}^2}=\left.-\frac{6}{7}\right|=\frac{6}{7}.$

c) Ta có: ${\left(-\sqrt{3}\right)}^2-\sqrt{36}=3-6=-3.$

d) ${\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)}^2.\sqrt{0,81}=\frac{4}{9}.0,9=\frac{4}{9}.\frac{9}{10}=\frac{2}{5}.$