Lý thuyết Tích phân – Toán lớp 12 Cánh diều

Lý thuyết Toán12 Bài 3: Tích phân- Cánh diều

A. Lý thuyết Tích phân

1. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Chú ý:

+ Kí hiệu ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ và đọc là F(x) thế cận từ a đến b.

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ .

Gọi:$\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

+ Ta quy ước: $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0;\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

+ Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$ .

Ví dụ 1. Tính:

a) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}2xdx$ ;

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}2xdx$$={\left.x^2\right|}_2^3$ = 3² – 2² = 5.

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx$$={\left.e^x\right|}_1^2$ = e² – e¹ = e² – e.

2. Tính chất của tích phân

● Tính chất 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (k là hằng số).

Ví dụ 2. Cho $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-3$ . Tính $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}5f\left(x\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}5f\left(x\right)dx=5\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=5\cdot \left(-3\right)=-15$ .

● Tính chất 2: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$;

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 3. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-1\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-1\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx-\underset{0}{\overset{2}{\int }}1dx$$={\left.\frac{x^3}{3}\right|}_0^2+{\left.\frac{x^2}{2}\right|}_0^2-{\left.x\right|}_0^2$

$=\left(\frac{8}{3}-0\right)+\left(\frac{4}{2}-0\right)-\left(2-0\right)=\frac{8}{3}$ .

● Tính chất 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử c là số thực tùy ý thuộc đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Ví dụ 4. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left.x-1\right|dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left.x-1\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left.x-1\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left.x-1\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x-1\right)dx$

$={\left.\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|}_1^2$$=\left.\left(1-\frac{1}{2}\right)-0\right]+\left.\left(\frac{4}{2}-2\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right]$= 1.

3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp

3.1. Tích phân của hàm số lũy thừa

Với α ≠ – 1, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx={\left.\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ .

Ví dụ 5. Tính:

a) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx$ ;

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\sqrt{3}}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx$$={\left.x^4\right|}_{-1}^1$ = 1⁴ – (– 1)⁴ = 0.

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\sqrt{3}}dx$$={\left.\frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}\right|}_1^2=\frac{2^{\sqrt{3}+1}-1^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}=\frac{2^{\sqrt{3}+1}-1}{\sqrt{3}+1}$.

3.2. Tích phân của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$

Với hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}dx={\left.\ln \left.x\right|\right|}_a^b=\ln \left.b\right|-\ln \left.a\right|$.

Ví dụ 6. Tính $\underset{2}{\overset{e}{\int }}\frac{6}{5x}dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $=\frac{6}{5}{\left.\ln \left.x\right|\right|}_2^e=\frac{6}{5}\left(\ln \left.e\right|-\ln \left.2\right|\right)=\frac{6}{5}\left(1-\ln 2\right)$ .

3.3. Tích phân của hàm số lượng giác

● $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx={\left.-\cos x\right|}_a^b=-\cos b-\left(-\cos a\right)=\cos a-\cos b$ .

● $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cos xdx={\left.\sin x\right|}_a^b=\sin b-\sin a$ .

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx={\left.-\cot x\right|}_a^b=-\cot b-\left(-\cot a\right)=\cot a-\cot b$.

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx={\left.\tan x\right|}_a^b=\tan b-\tan a$.

Ví dụ 7. Tính:

a) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\cos x-\sin x\right)dx$ ;

b) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\frac{4}{{\sin }^{2}x}-\frac{5}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

3.4. Tích phân của hàm số mũ

Với a > 0, a ≠ 1, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{a}^{x}dx={\left.\frac{a^x}{\ln a}\right|}_{\alpha }^{\beta }=\frac{a^{\beta }-a^{\alpha }}{\ln a}$ .

Chú ý: Áp dụng công thức trên, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{e}^{x}dx={\left.e^x\right|}_{\alpha }^{\beta }=e^{\beta }-e^{\alpha }$ .

Ví dụ 8. Tính:

a) $\underset{2}{\overset{4}{\int }}{5}^{x}dx$ ;

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2\cdot 3^x+e^x\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

B. Bài tập Tích phân

Bài 1. Nếu $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-3$ và $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=5$ thì $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng:

A. 8.

B. 2.

C. – 8.

D. – 15.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\left(-3\right)+5=2$ .

Bài 2. Cho $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3$, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] và F(– 2) = 5. Tính F(2).

Hướng dẫn giải

Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] nên ta có:

$\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_{-2}^2=F\left(2\right)-F\left(-2\right)$.

Mà $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3$ , F(– 2) = 5 nên suy ra F(2) = 3 + 5 = 8.

Bài 3. Tính:

Hướng dẫn giải

Bài 4. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái ô tô đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = – 5t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường bằng bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0, tức là – 5t + 20 = 0 hay t = 4 (giây).

Quãng đường mà ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:

$\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(-5t+20\right)dt={\left.\left(-\frac{5}{2}{t}^2+20t\right)\right|}_0^4=40$(m)

Bài 5. Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{-5}{x^3}dx$ có giá trị bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{-5}{x^3}dx$$=-5\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{-3}dx={\left.-5\cdot \frac{x^{-2}}{-2}\right|}_1^2={\left.\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{x^2}\right|}_1^2$$=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{1^2}\right)=-\frac{15}{8}$ .