Lý thuyết Một số phép tính về căn bậc hai của số thực - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

1. Căn bậc hai của một bình phương

Quy tắc:Với mọi số a, ta có$\sqrt{a^2}=\left(a\right).$

Ví dụ 1.Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một bình phương, hãy tính:

a)$\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2};$

b)$\sqrt{{\left(3-\sqrt{10}\right)}^2}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\left.\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3};$

b) $\sqrt{{\left(3-\sqrt{10}\right)}^2}=\left.3-\sqrt{10}\right|$

Do$\sqrt{9}<\sqrt{10}$ hay$3<\sqrt{10}$ nên $3-\sqrt{10}<0$

Vì thế ta có $\left.3-\sqrt{10}\right|=\sqrt{10}-3$

Vậy $\sqrt{{\left(3-\sqrt{10}\right)}^2}=\left.3-\sqrt{10}\right|=\sqrt{10}-3.$

2. Căn bậc hai của một tích

Quy tắc:Với hai số không âm a và b, ta có$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}.$

Chú ý:Quy tắc trên có thể mở rộng cho tích có nhiều thừa số không âm.

Ví dụ 2.Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:

a)$\sqrt{36\cdot 1,44}$

b)$-\sqrt{27}\cdot \sqrt{48}.$

Hướng dẫn giải

a)$\sqrt{36\cdot 1,44}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{1,44}=6\cdot 1,2=7,2;$

b)$-\sqrt{27}\cdot \sqrt{48}=-\sqrt{27\cdot 48}=-\sqrt{1296}=-36.$

3. Căn bậc hai của một thương

Quy tắc:Với a ≥ 0 và b > 0, ta có$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$

Ví dụ 3.Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính:

a)$\sqrt{\frac{289}{36}};$

b)$\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}}.$

Hướng dẫn giải

a)$\sqrt{\frac{289}{36}}=\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{36}}=\frac{17}{6};$

b)$\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{147}{3}}=\sqrt{49}=7.$

4. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai

Quy tắc:Cho hai số a, b với b ≥ 0. Khi đó$\sqrt{a^2\cdot b}=\left(a\right)\sqrt{b}.$

Cụ thể, ta có:

⦁Nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì$\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b};$

⦁Nếu a < 0 và b ≥ 0 thì$\sqrt{a^{2}b}=-a\sqrt{b};$

Ví dụ 4.Rút gọn biểu thức sau:$\sqrt{50}+\sqrt{18}-2\sqrt{2}.$

Hướng dẫn giải

Ta có:$\sqrt{50}+\sqrt{18}-2\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}+\sqrt{9\cdot 2}-2\sqrt{2}$

$=\sqrt{5^2\cdot 2}+\sqrt{3^2\cdot 2}-2\sqrt{2}=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}.$

5. Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai

Quy tắc:

⦁ Với a ≥ 0 và b ≥ 0 thì$a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b};$

⦁ Nếu a < 0 và b ≥ 0 thì$a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b};$

a)$2\sqrt{\frac{1}{2}};$

b)$5\sqrt{\frac{2}{5}}-2\sqrt{10}.$

Hướng dẫn giải

a)$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2^2\cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{2};$

b)$5\sqrt{\frac{2}{5}}-2\sqrt{10}=\sqrt{5^2\cdot \frac{2}{5}}-2\sqrt{10}=\sqrt{10}-2\sqrt{10}=-\sqrt{10}.$

Sơ đồ tư duy Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

Bài tập Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

Bài 1.Cho a và b là hai số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$với mọi a, b;

B.$\sqrt{a^2}=-a$khi a < 0;

C.$\sqrt{a{b}^2}=-b\sqrt{a}$khi a ≥ 0 và b ≥ 0;

D.$\sqrt{-ab}=-\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$khi a ≥ 0 và b ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

⦁$\sqrt{a^2}=-a$khi a < 0;

⦁$a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$khi a ≥ 0 và b ≥ 0;

⦁$\sqrt{a{b}^2}=-b\sqrt{a}$khi a ≥ 0 và b < 0;

⦁$\sqrt{-ab}=\sqrt{-a}\cdot \sqrt{b}$khi a < 0 và b ≥ 0 hoặc$\sqrt{-ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{-b}$khi a ≥ 0 và b < 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 2.Cho a, b là hai số và b ≠ 0. Rút gọn biểu thức ta được

A.$\frac{a^2}{b};$

B.$\frac{a}{b};$

C.$-\frac{a^2}{b};$

D.$\frac{a^2}{\left(b\right)}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:$\sqrt{\frac{a^4}{b^2}}=\sqrt{{\left(\frac{a^2}{b}\right)}^2}=\left(\frac{a^2}{b}\right)=\frac{a^2}{\left(b\right)}.$

Bài 3.Cho ba số dương a, b, c. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\sqrt{\frac{a}{bc}}=\frac{\sqrt{abc}}{b};$

B.$\sqrt{\frac{a}{bc}}=-\frac{\sqrt{abc}}{bc};$

C.$\sqrt{\frac{a}{bc}}=\frac{\sqrt{abc}}{bc};$

D.$\sqrt{\frac{a}{bc}}=\frac{abc}{\sqrt{bc}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với a > 0, b > 0, c > 0, ta có:

$\sqrt{\frac{a}{bc}}=\sqrt{\frac{abc}{{\left(bc\right)}^2}}=\frac{\sqrt{abc}}{\sqrt{{\left(bc\right)}^2}}=\frac{\sqrt{abc}}{\left.bc\right|}=\frac{\sqrt{abc}}{bc}.$

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.So sánh:

a)$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}}$và 3;

b)$\sqrt{\frac{1}{2}}.\sqrt{\frac{9}{2}}$và$\frac{3}{2};$

c)$\sqrt{50}$và$5\sqrt{5}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{49}{7}}=\sqrt{7}$

Vì$\sqrt{7}<\sqrt{9}$hay$\sqrt{7}<3$nên$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}}<3.$

b) Ta có:$\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{\frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}.$

c) Ta có:$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{5^2\cdot 2}=5\sqrt{2}.$

Vì$\sqrt{2}<\sqrt{5}$nên$5\sqrt{2}<5\sqrt{5}.$

Vậy$\sqrt{50}<5\sqrt{5}.$

Bài 5.Tính:

a)$\sqrt{7-4\sqrt{3}};$

b)$\sqrt{\sqrt{5}+3}\cdot \sqrt{3-\sqrt{5}};$

c)$\frac{\sqrt{{\left(6,2\right)}^2-{\left(5,9\right)}^2}}{\sqrt{2,43}};$

d)${\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)}^2+\sqrt{120}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{4-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+3}=\sqrt{2^2-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$

$=\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}=\left.2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}$ (vì$2-\sqrt{3}>0$> do $2>\sqrt{3}).$

/span>

b)$\sqrt{\sqrt{5}+3}\cdot \sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}$

$=\sqrt{3^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2.$

c)$\frac{\sqrt{{\left(6,2\right)}^2-{\left(5,9\right)}^2}}{\sqrt{2,43}}=\frac{\sqrt{\left(6,2-5,9\right)\cdot \left(6,2+5,9\right)}}{\sqrt{2,43}}$

$=\frac{\sqrt{0,3\cdot 12,1}}{\sqrt{2,43}}=\frac{\sqrt{3,63}}{\sqrt{2,43}}=\sqrt{\frac{3,63}{2,43}}=\sqrt{\frac{363}{243}}=\sqrt{\frac{121}{81}}=\frac{11}{9}.$

d)${\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)}^2+\sqrt{120}=6-2\sqrt{6}\cdot \sqrt{5}+5+\sqrt{4\cdot 30}$

$=11-2\sqrt{6\cdot 5}+\sqrt{2^2\cdot 30}=11-2\sqrt{30}+2\sqrt{30}=11.$