Lý thuyết Định lí Viète - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Định lí Viète

1. Định lý Viète

Nếu phương trình bậc hai ax²+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$;

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}$.

Ví dụ:Xét phương trình x²+ 5x – 6 = 0, ta thấy:

∆ = 5²– 4 . 1 . (–6) = 49 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Không cần giải cụ thể x₁, x₂, dựa vào định lý Viète ta có:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{5}{1}=-5$;

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-6}{1}=-6$.

Nhận xét:

– Nếu phương trình ax²+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁= 1, nghiệm còn lại là $x_2=\frac{c}{a}$.

– Nếu phương trình ax²+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁= –1, nghiệm còn lại là $x_2=-\frac{c}{a}$.

Ví dụ:Không giải phương trình, hãy tìm các nghiệm của phương trình 3x²– 2x – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta thấy các hệ số của phương trình có tổng 3 + (–2) + (–1) = 0.

Suy ra phương trình có một nghiệm là x = 1, nghiệm còn lại của phương trình là $x=\frac{c}{a}=\frac{-1}{3}.$

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

x²– Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S²– 4P ≥ 0.

Ví dụ:Khi biết hai số có tổng S = 5 và tích P = 6, ta suy ra hai số đó là nghiệm của phương trình x²– 5x + 6 = 0.

Ta tính được Δ = (–5)²– 4 . 1 . 6 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{1}}{2.1}=3$;

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{1}}{2.1}=2$.

Vậy hai số đó là 3 và 2.

Sơ đồ tư duy Định lí Viète

Bài tập Định lí Viète

Bài 1.Tổng và tích của hai nghiệm của phương trình 5x²+ 7x – 3 = 0 là

A. $\frac{7}{5}$và$\frac{3}{5}$.

B.$\frac{7}{5}$và $-\frac{3}{5}$.

C. $-\frac{7}{5}$và $\frac{3}{5}$.

D.$-\frac{7}{5}$và$-\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lý Viète, ta có:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{7}{5}$;

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=-\frac{3}{5}$;

Bài 2.Giả sử x₁, x₂là hai nghiệm của phương trình x²– 5x + 3 = 0. Giá trị của biểu thức x₁²+ x₂²là

A. 16.

B. 17.

C. 18.

D. 19.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5$;

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=-\frac{3}{1}=-3$.

x₁²+ x₂²= (x₁+ x₂)²– 2x₁x₂= 5²– 2.(–3) = 19.

Bài 3.Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 25 và tích của chúng bằng 60.

Hướng dẫn giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x²– 25x + 60 = 0.

Ta có: ∆ = 25²– 4 . 1 . 60 = 385 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-25\right)+\sqrt{385}}{2.1}=\frac{25+\sqrt{385}}{2}$;

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-25\right)-\sqrt{385}}{2.1}=\frac{25-\sqrt{385}}{2}$.

Vậy hai số cần tìm là $\frac{25+\sqrt{385}}{2}$và $\frac{25-\sqrt{385}}{2}$.

Bài 4.Cho phương trình –3x²– 5x – 2 = 0. Với x₁, x₂là nghiệm của phương trình, không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau

$M=x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+x_2$

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{-3}=-\frac{5}{3}$;

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$.

Ta có: $M=x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+x_2$ $=x_1+x_2+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$

$=\left(x_1+x_2\right)+\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}$ $=-\frac{5}{3}+\frac{-\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}$$=-\frac{25}{6}$.

Bài 5.Cho phương trình x²+ 5 mx − 4 = 0. Tìm m để x₁, x₂là nghiệm của phương trình và thỏa mãn: x₁²+ x₂²+ 6x₁x₂= 9.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình x²+ 5mx − 4 = 0 (*)

Để phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:

Δ = (5m)²− 4.1. (− 4) = 25m²+ 16 > 0.

Mà m²≥ 0 với mọi m nên Δ = 25m²+ 16 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình (*) có nghiệm với mọi m.

Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁, x₂.

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$S=x_1+x_2=-\frac{5m}{1}=-5m$;

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4$.

Mặt khác, ta có: x₁²+ x₂²+ 6x₁x₂= 9

x₁²+ 2x₁x₂+ x₂²+ 4x₁x₂= 9

(x₁+ x₂)²+ 4x₁x₂= 9

(−5m)²+ 4. (−4) = 9

25m²− 16 = 9

25m²= 25

m²= 1

m = ± 1.

Vậy m = 1 hoặc m = –1 thì phương trình có hai nghiệm x₁, x₂thỏa mãn yêu cầu bài toán.