Lý thuyết Căn bậc hai và căn bậc ba của số thực - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai và căn bậc ba của số thực

1. Căn bậc hai của số thực không âm

Khái niệm:Căn bậc haicủa một số thực a không âm là số thực x sao cho x²= a.

Chú ý:

⦁Khi a > 0, số a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là$\sqrt{a};$số âm kí hiệu là$-\sqrt{a}.$Ta gọi làcăn bậc hai số họccủa a.

⦁ Căn bậc hai của số 0 bằng 0, kí hiệu là$\sqrt{0}$

⦁Số âm không có căn bậc hai.

Lưu ý:Với a ≥ 0, ta có:${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$

Ví dụ 1.

a) Số 5 và –5 có phải căn bậc hai của 25 hay không? Nếu có, hãy chỉ ra số nào là căn bậc hai số học của 25.

b) Từ đó, hãy sử dụng kí hiệu căn bậc hai để biểu thị giá trị 5 và giá trị –5.

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy:5²= 25 và (–5)²= 25 nên số 5 và –5 là căn bậc hai của 25.

Căn bậc hai số học của 25 là 5.

b) Ta có:$\sqrt{25}=5$và$-\sqrt{25}=-5$.

Ví dụ 2.Tìm:

a)$\sqrt{100};$

b)$-\sqrt{\frac{36}{169};}$

c) Căn bậc hai của 0,81.

Hướng dẫn giải

a) Do 10²= 100 nên

b) Do${\left(\frac{6}{13}\right)}^2=\frac{36}{169}$nên $-\sqrt{\frac{36}{169}}=-\frac{6}{13};$

c) Do 0,9²= (–0,9)²= 0,81 nên căn bậc hai của 0,81 có hai giá trị là 0,9 và –0,9

Ta có$\sqrt{0,81}=0,9$và $-\sqrt{0,81}=-0,9.$

Lưu ý:Với hai số a, b không âm, ta có:

⦁ Nếu a < b thì$\sqrt{a}<\sqrt{b};$

⦁ Nếu$\sqrt{a}<\sqrt{b}$thì a < b.

Ví dụ 3.So sánh:

a)$\sqrt{100}$và 9;

b)$\sqrt{144}$và$\sqrt{81}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:$9=\sqrt{81}$

Do 81 < 100 nên$\sqrt{81}<\sqrt{100}$hay$\sqrt{100}>9$

b) Do 144 > 81 nên$\sqrt{144}>\sqrt{81}$

2. Căn bậc ba

Khái niệm:Căn bậc bacủa một số thực a là số thực x sao cho x³= a.

Căn bậc ba của số thực a được kí hiệu là$\sqrt[3]{a}$

Lưu ý:${\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3=3$

Chú ý:Người ta chứng minh được rằng: Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba.

Ví dụ 4.Tìm các giá trị của:

a)$\sqrt[3]{27000};$

b)$\sqrt[3]{\frac{512}{125}};$

c)$\sqrt[3]{-0,008}·$

Hướng dẫn giải

a)$\sqrt[3]{27000}=\sqrt[3]{{30}^3}=30;$

b)$\sqrt[3]{\frac{512}{125}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{8}{5}\right)}^3}=\frac{8}{5};$

c)$\sqrt[3]{-0_{,}008}=\sqrt[3]{{\left(-0,2\right)}^3}=-0,2$

Lưu ý:Với hai số a, b, ta có:

⦁Nếu a < b thì$\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b};$

⦁Nếu$\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$thì a < b.

Ví dụ 5.So sánh:

a)$\sqrt[3]{1,25}$và$\sqrt[3]{1,5}$

b) 7 và$\sqrt[3]{\frac{2744}{8}}$

Hướng dẫn giải

a) Vì 1,25 < 1,5 nên$\sqrt[3]{1,25}<\sqrt[3]{1,5};$

b) Ta có:$7=\sqrt[3]{343}=\sqrt[3]{\frac{2744}{8}}·$

Do$\frac{2744}{8}<\frac{2745}{8}$nên$7<\sqrt[3]{\frac{2745}{8}}·$

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm căn bậc hai, căn bậc ba của một số hữu tỉ

⦁Để tính căn bậc hai của một số hữu tỉ dương, ta sử dụng phím

⦁ Để tính căn bậc ba của một số hữu tỉ, ta sử dụng liên tiếp hai phím

Ví dụ6.Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị (đúng hoặc gần đúng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) của:

a)$\sqrt{7,431}$

b)$\sqrt[3]{-3375}$

c)$\sqrt[3]{\frac{39}{45}}$

d)$-\sqrt{11}$

Hướng dẫn giải

Ta sử dụng máy tính cầm tay như sau:

Sơ đồ tư duy Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài tập Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 1.Số nào sau đây là căn bậc hai của 100?

A. 10;

B. –10;

C. 50;

D. –10 và 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 10²= 100 và (–10)²= 100 nên số 10 và –10 là căn bậc hai của 100.

Bài 2.Số 25 là căn bậc hai của số nào sau đây?

A. 5;

B. 12,5;

C. 625;

D. Một đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có 25²= 625 nên 25 là căn bậc hai của số 625.

Bài 3.Khẳng định nào sau đây đúng?

A.$\sqrt[3]{a}=x$nếu a³= x;

B.$\sqrt[3]{a}=-x$nếu a³= x;

C.$\sqrt[3]{a}=x$nếu a = x³;

D.$\sqrt[3]{a}=-x$nếu a = x³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:$\sqrt[3]{a}=x$nếu a = x³.

Bài 4.Tính giá trị của các biểu thức sau:

a)${\left(\sqrt{58}\right)}^2-\sqrt{{45}^2}$

b)$\frac{2}{7}\sqrt{49}+\frac{26}{3}\sqrt{\frac{81}{169}}-\sqrt{625}$

c)$\sqrt[3]{{\left(-15\right)}^3}+{\left(\sqrt[3]{21}\right)}^3-\sqrt[3]{-27}$

d)$\left(\sqrt{2030}-\sqrt{2029}\right)\left(\sqrt{2030}+\sqrt{2029}\right)$

e)$\left(\sqrt[3]{3}-1\right)\left.{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}+1\right].$

Hướng dẫn giải

a)${\left(\sqrt{58}\right)}^2-\sqrt{{45}^2}=58-45=13$

b)$\frac{2}{7}\sqrt{49}+\frac{26}{3}\sqrt{\frac{81}{169}}-\sqrt{625}$

=$=\frac{2}{7}·7+\frac{26}{3}·\frac{9}{13}-25$

= 2 + 6 – 25

= –17.

c)$\sqrt[3]{{\left(-15\right)}^3}+{\left(\sqrt[3]{21}\right)}^3-\sqrt[3]{-27}$

= –15 + 21 – 3

= 3.

d)$\left(\sqrt{2030}-\sqrt{2029}\right)\left(\sqrt{2030}+\sqrt{2029}\right)$

= 2 030 – 2 029 = 1.

e)$\left(\sqrt[3]{3}-1\right)\left.{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}+1\right]={\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3-1^3=3-1=2.$

Bài 5.Người ta cần làm một cái thùng hình lập phương bằng bìa cứng không có nắp trên và có thể tích 32768 m³. Tính diện tích bìa cứng cần dùng để làm thùng đựng đó (coi diện tích các mép nối là không đáng kể).

Hướng dẫn giải

Cạnh cái thùng hình lập phương là:$\sqrt[3]{32768}=32$(m).

Cái thùng đó có 5 mặt là 5 hình vuông.

Diện tích bìa cứng phải dùng để làm cái thùng là:

32². 5 = 5 120 (m²).