Lý thuyết Căn bậc hai - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai

1. Căn bậc hai

•Cho số thực a không âm. Số thực x thỏa mãn x²= a được gọi là một căn bậc hai của a.

•Mỗi số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương là$\sqrt{a}$ (căn bậc hai số học của a), số âm là $-\sqrt{a}$

•Số 0 chỉ có đúng một căn bậc hai là chính nó, ta viết $\sqrt{0}=0.$

Chú ý:

•Số âm không có căn bậc hai.

•Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai căn bậc hai hay phép khai phương (gọi tắt là khai phương).

•Ở lớp 7 ta đã biết, nếu a > b > 0 thì$\sqrt{a}>\sqrt{b}.$ Từ đó suy ra

$-\sqrt{a}<-\sqrt{b}<0<\sqrt{b}<\sqrt{a}.$

Ví dụ:Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) 36;

b) $\frac{4}{9}$

c) 0,04.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 6²= 36, nên 36 có hai căn bậc hai là 6 và −6.

b) Ta có${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9},$ nên$\frac{4}{9}$ có hai căn bậc hai là$\frac{2}{3}$ và $-\frac{2}{3}$

c) Ta có (0,2)²= 0,04, nên 0,04 có hai căn bậc hai là 0,2 và −0,2.

2. Căn thức bậc hai

•Với A là một biểu thức đại số, ta gọi$\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Chú ý:

•Ta cũng nói$\sqrt{A}$ là một biểu thức. Biểu thức$\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi A nhận giá trị không âm.

•Khi A nhận giá trị không âm nào đó, khai phương giá trị này ta nhận được giá trị tương ứng của biểu thức$\sqrt{A}$

Ví dụ:Cho biểu thức $P=\sqrt{13-2x}.$

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức P xác định?

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 2.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức P xác định khi 13 – 2x ≥ 0 hay 2x ≤ 13 hay $x\le \frac{13}{2}.$

b) Ta thấy x = 2 thỏa mãn điều kiện xác định và khi x = 2 ta có $P=\sqrt{13-2.2}=\sqrt{9}=3.$

Sơ đồ tư duy Căn bậc hai

Bài tập Căn bậc hai

Bài 1.Tìm x, biết:

a) x²= 144;

b) 2x²= 8;

c) 3x²= 10.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 12²= 144 nên x = 12 hoặc x = −12.

b) Ta có 2x²= 8 suy ra x²= 4. Mà 2²= 4 nên x = 2 hoặc x = −2.

c) Ta có 3x²= 10 suy ra$x^2=\frac{10}{3}.$ Mà${\left(\sqrt{\frac{10}{3}}\right)}^2=\frac{10}{3}$ nên$x=\frac{10}{3}$ hoặc $x=-\frac{10}{3}.$

Bài 2.Tính:

Hướng dẫn giải

a) Ta có 10²= 100 nên $\sqrt{100}=10.$

b) Ta có 18²= 324 nên $\sqrt{324}=18.$

c) Ta có${\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$ nên $\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$

d) Ta có (0,4)²= 0,16 nên $\sqrt{0,16}=0,4.$

Bài 3.Cho biểu thức$A=\sqrt{x^2-2xy+2}.$ Tính giá trị của A khi:

a) x = 2, y = −3.

b) x = 1, y = 5.

c) x = −4, y = 4.

Hướng dẫn giải

a) Khi x = 2 và y = −3, ta có $A=\sqrt{2^2-\mathrm{2.2.}\left(-3\right)+2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$

b) Khi x = 1 và y = 5, ta có$A=\sqrt{1^2-\mathrm{2.1.5}+2}=\sqrt{-7}$ (không xác định vì −7 < 0).

c) Khi x = −4 và y = 4, ta có$A=\sqrt{4^2-\mathrm{2.4.4}+2}=\sqrt{-14}$ (không xác định vì −14 < 0).