Hãy phát biểu và chứng minh các trường hợp còn lại của nhận xét trên

Giải Toán 7 Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác

Video giải Câu hỏi 2 trang 82 Toán lớp 7 Tập 2

Câu hỏi 2 trang 82 Toán lớp 7 Tập 2:  Hãy phát biểu và chứng minh các trường hợp còn lại của nhận xét trên (xem như những bài tập).

Lời giải:

Bài tập 1: Nếu một tam giác có một đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tam giác đó là một tam giác cân.

Xét ΔABC có AI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến, ta sẽ đi chứng minh tam giác ABC cân tại A.

Vì AI là đường cao nên suy ra AI ⊥ BC.

Vì AI là đường trung tuyến nên suy ra BI = CI.

Xét ΔABI và ΔACI ta có:

AI là cạnh chung

$\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90°$

BI = CI

Do đó ΔABI = ΔACI (c.g.c)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

 ΔABC có AB = AC nên suy ra tam giác ABC cân tại A

Bài tập 2: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân.

Xét ΔABC có AI vừa là đường trung trực vừa là đường cao.

⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC.

Xét ΔABI và ΔACI ta có:

AI là cạnh chung

IB = IC (do I là trung điểm BC)

$\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90°$

Do đó ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

 ΔABC có AB = AC nên ABC là tam giác cân tại A.

- Bài tập 3: Nếu một tam giác có một đường phân giác đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường phân giác vừa là đường cao.

Vì AI là đường cao nên suy ra AI ⊥ BC.

Xét ΔABI và ΔACI ta có:

AI là chung

$\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90°$

$\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (do AI là phân giác góc BAC)

Do đó ΔABI = ΔACI (g.c.g)

 Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

ΔABC có AB = AC nên ABC là tam giác cân tại A