Giải SBT Toán 10 trang 58 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 58 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.22 trang 58 SBT Toán 10 Tập 1:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3). Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M, N, P theo thứ tự là trung điểm cạnh BC, CA, AB.

Lời giải:

Cách 1:

Gọi A(x_A; y_A); B(x_B; y_B) và C(x_C; y_C) là tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC.

Ta có:

+) M(4; 0) là trung điểm của BC nên $\begin{array}{l}4=\frac{x_B+x_C}{2}\\ 0=\frac{y_B+y_C}{2}\end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_B+x_C=8\\ y_B+y_C=0\end{array}$(1)

+) N(5; 2) là trung điểm của CA nên $\begin{array}{l}5=\frac{x_A+x_C}{2}\\ 2=\frac{y_A+y_C}{2}\end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_A+x_C=10\\ y_A+y_C=4\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_C=10-x_A\\ y_C=4-y_A\end{array}$(2)

+) P(2; 3) là trung điểm của AB nên $\begin{array}{l}2=\frac{x_A+x_B}{2}\\ 3=\frac{y_A+y_B}{2}\end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_A+x_B=4\\ y_A+y_B=6\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_B=4-x_A\\ y_B=6-y_A\end{array}$(3)

Thay (2) và (3) vào (1) ta được:

$\begin{array}{l}\left(4-x_A\right)+\left(10-x_A\right)=8\\ \left(6-y_A\right)+\left(4-y_A\right)=0\end{array}$$\iff \begin{array}{l}14-2x_A=8\\ 10-2y_A=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}{x}_A=3\\ y_A=5\end{array}$$\Rightarrow$ A(3; 5)

Khi đó $\begin{array}{l}{x}_B=4-3=1\\ y_B=6-5=1\end{array}$$\Rightarrow$ B(1; 1)

$\begin{array}{l}{x}_C=10-3=7\\ y_C=4-5=-1\end{array}$$\Rightarrow$ C(7; –1)

Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).

Cách 2:

Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Nên MN, NP, PM là các đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow$ MN // AB, NP // BC, MP // AC.

+) Do MN // BM và NP // BM nên tứ giác MNPB là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{NP}$

Gọi B(x_B; y_B) và có M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3).

$\Rightarrow \overrightarrow{MB}=\left(x_B-4;y_B\right)$và $\overrightarrow{NP}=\left(2-5;3-2\right)=\left(-3;1\right)$

Khi đó $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{NP}\iff \begin{array}{l}{x}_B-4=-3\\ y_B=1\end{array}$$\iff \begin{array}{l}{x}_B=1\\ y_B=1\end{array}$Þ B(1; 1)

Tương tự ta cũng có A(3; 5) và C(7; –1).

Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).

Bài 4.23 trang 58 SBT Toán 10 Tập 1:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CA. Từ đó suy ra tam giác ABC là một tam giác vuông cân.

b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABDC là một hình vuông.

Lời giải:

a) Với A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0) ta có:

Do đó AB = CA $\left(=\sqrt{26}\right)$

Nên tam giác ABC cân tại A (1)

Mặt khác: $B{C}^2={\left(2\sqrt{13}\right)}^2=52$

Và $A{B}^2+A{C}^2={\left(\sqrt{26}\right)}^2+{\left(\sqrt{26}\right)}^2=52$

$\Rightarrow$ BC² = AB² + AC²

Theo định lí Pythagoras đảo thì tam giác ABC vuông tại A (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông cân tại A với $AB=AC=\sqrt{26};BC=2\sqrt{13}.$

b)

Vì ABC là tam giác vuông cân

Nên để ABDC là hình vuông thì tứ giác ABDC là hình bình hành

$\iff \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DB}$

Gọi D(x_D; y_D) và có A(2;–1), B(1; 4), C(7; 0).

$\Rightarrow \overrightarrow{CA}=\left(-5;-1\right)$và $\overrightarrow{DB}=\left(1-x_D;4-y_D\right)$

Do đó $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DB}\iff \begin{array}{l}-5=1-x_D\\ -1=4-y_D\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}{x}_D=6\\ y_D=5\end{array}$$\Rightarrow$ D(6; 5).

Vậy tọa độ điểm D cần tìm là D(6; 5).

Bài 4.24 trang 58 SBT Toán 10 Tập 1:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).

a) Tìm toạ độ của điểm P thuộc Ox sao cho PM = PN.

b) Tìm toạ độ của điểm Q sao cho $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{PN}.$

c) Tìm toạ độ của điểm R thoả mãn $\overrightarrow{RM}+2\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{0}.$Từ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng.

Lời giải:

a) Gọi P(a; 0) là điểm thuộc tia Ox.

Với M(–2; 1) và N(4; 5) ta có:

Do đó PM = PN $\iff \sqrt{{\left(-2-a\right)}^2+1^2}=\sqrt{{\left(4-a\right)}^2+5^2}$

$\Rightarrow$ (–2 – a)² + 1² = (4 – a)² + 5²

$\Rightarrow$ 4 + 4a + a² + 1 = 16 – 8a + a² + 25

$\Rightarrow$ 12a = 36

$\Rightarrow$ a = 3.

Vậy P(3; 0).

b) Giả sử điểm Q có tọa độ là Q(x; y).

Với M(–2; 1), N(4; 5) và P(3; 0) ta có:

Do đó $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{PN}\iff \begin{array}{l}x+2=2\\ y-1=10\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=0\\ y=11\end{array}$$\Rightarrow$ Q(0; 11).

Vậy Q(0; 11).

c) Giả sử R(x₀; y₀) là điểm cần tìm.

Với M(–2; 1) và N(4; 5) ta có:

Do đó 

+) Ta xét ba điểm: P(3; 0), Q(0; 11) và $R\left(2;\frac{11}{3}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=\left(-3;11\right)$và $\overrightarrow{QR}=\left(2;\frac{11}{3}-11\right)=\left(2;\frac{-22}{3}\right)$

Có: $\frac{-3}{2}=\frac{11}{\frac{-22}{3}}$nên hai vectơ $\overrightarrow{PQ}$và $\overrightarrow{QR}$cùng phương

Do đó P, Q, R thẳng hàng

Vậy ba điểm P, Q, R thẳng hàng.