Giải SBT Toán 10 trang 55 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 55 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.20 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm K thoả mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}.$

b) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn $\left.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}+3\overrightarrow{MC}\right|=\left.\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|.$

Lời giải:

a)

Gọi I là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC.

Khi đó $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{KI}$ và $\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{KH}$

$\Rightarrow \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}$$=\left(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}\right)+2\left(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\right)$

$=2\overrightarrow{KI}+2.2\overrightarrow{KH}$$=2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{KH}$

Mà $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}.$

Nên 

Khi đó $\overrightarrow{KI}$và $\overrightarrow{KH}$là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và $\left.\overrightarrow{KI}\right|=2\left.\overrightarrow{KH}\right|$

Do đó điểm K nằm giữa hai điểm I và H sao cho KI = 2KH.

Vậy ta có điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$như hình vẽ.

b)

Chứng minh tương tự câu a ta có:

Mà $2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{0}$(câu a)

Nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}+3\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MK}$

Lại có: $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$

Do đó$\left.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}+3\overrightarrow{MC}\right|=\left.\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|.$

$\iff \left.6\overrightarrow{MK}\right|=\left.\overrightarrow{CB}\right|$

$\Rightarrow$ 6MK = CB

$\iff KM=\frac{BC}{6}$

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm K, bán kính bằng $\frac{BC}{6}$như hình vẽ.

Bài 4.21 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1:

Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực $\overrightarrow{P}$của vật và lực đẩy Archimedes $\overrightarrow{F}$mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.

Lời giải:

Trọng lực $\overrightarrow{P}$của vật và lực đẩy Archimedes $\overrightarrow{F}$mà chất lỏng tác động lên vật được mô tả như hình vẽ trên.

Do vật ở trạng thái cân bằng nên hai lực $\overrightarrow{P}$và $\overrightarrow{F}$ngược hướng nhau và có cường độ bằng nhau.

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{P}\right|=\left.\overrightarrow{F}\right|$

Gọi d và d' là trọng lượng riêng của vật và chất lỏng;

V là thể tích của vật

Khi thả vật vào cốc chất lỏng thì ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng nên thể tích chất lỏng bị chiếm chỗ là $\frac{V}{2}.$

Khi đó trọng lượng của vật là: P = d.V

Và lực đẩy Archimedes mà chất lỏng tác động lên vật là: $F_A=d^{\text{'}}.\frac{V}{2}.$

Do đó

$\left.\overrightarrow{P}\right|=\left.\overrightarrow{F}\right|\iff d.V=d^{\text{'}}.\frac{V}{2}\iff d=\frac{d^{\text{'}}}{2}\iff \frac{d}{d^{\text{'}}}=\frac{1}{2}.$

Vậy tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng bằng $\frac{1}{2}$