Giải SBT Toán 10 trang 38 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 38 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 3.7 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=45°,\widehat{C}=30°$ và c = 12.

a) Tính độ dài các cạnh còn lại của ta m giác.

b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Tính diện tích của tam giác.

d) Tính độ dài các đường cao của tam giác.

Lời giải:

Xét DABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

$\Rightarrow \widehat{B}=180°-\widehat{A}-\widehat{C}=180°-45°-30°=105°.$

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Suy ra:

• $a=\frac{c}{\sin C}.\sin A=\frac{12}{\sin 30°}.\sin 45°$

$\Rightarrow a=\frac{12}{\frac{1}{2}}.\frac{\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2};$

• $b=\frac{c}{\sin C}.\sin B=\frac{12}{\sin 30°}.\sin 105°$

$\Rightarrow b=\frac{12}{\frac{1}{2}}.\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=6\sqrt{6}+6\sqrt{2}.$

Vậy $a=12\sqrt{2};b=6\sqrt{6}+6\sqrt{2}.$

b) Theo định lí sin ta có $\frac{c}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{12}{2.\sin 30°}=12.$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 12.

c) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

$S=\frac{1}{2}.bc\sin A=\frac{1}{2}.\left(6\sqrt{6}+6\sqrt{2}\right)\mathrm{.12.}\sin 45°$

$=6.\left(6\sqrt{6}+6\sqrt{2}\right).\frac{\sqrt{2}}{2}=36\sqrt{3}+36.$

Vậy diện tích tam giác ABC bằng $36\sqrt{3}+36.$

d) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

$S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c$

Do đó:

• $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2.\left(36\sqrt{3}+36\right)}{12\sqrt{2}}=3\sqrt{6}+3\sqrt{2};$

• $h_b=\frac{2S}{b}=\frac{2.\left(36\sqrt{3}+36\right)}{6\sqrt{6}+6\sqrt{2}}=6\sqrt{2};$

• $h_c=\frac{2S}{c}=\frac{2.\left(36\sqrt{3}+36\right)}{12}=6\sqrt{3}+6.$

Vậy độ dài các đường cao h_a, h_b, h_c của tam giác ABC lần lượt là $h_a=3\sqrt{6}+3\sqrt{2};$$h_b=6\sqrt{2};$$h_c=6\sqrt{3}+6.$

Bài 3.8 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1:

Tam giác ABC có a = 19, b = 6 và c = 15.

a) Tính cosA.

b) Tính diện tích tam giác.

c) Tính độ dài đường cao h_c.

d) Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin cho DABC ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA

$\Rightarrow \text{cosA\hspace{0.17em}=}\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{6^2+{15}^2-{19}^2}{\mathrm{2.6.15}}=\frac{-5}{9}.$

Vậy cosA = $\frac{-5}{9}$

b) Tam giác ABC có a = 19, b = 6 và c = 15

Khi đó:

• $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{19+6+15}{2}=20.$

• p – a = 1;

• p – b = 14;

• p – c = 5.

Áp dụng công thức Heron ta có:

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{\mathrm{20.1.14.5}}=10\sqrt{14}.$

Vậy diện tích DABC bằng $10\sqrt{14}.$

c) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

$S_b=\frac{1}{2}c{h}_c$

$\Rightarrow h_c=\frac{2S}{c}=\frac{2.10\sqrt{14}}{15}=\frac{4\sqrt{14}}{3}.$

Vậy độ dài đường cao $h_c=\frac{4\sqrt{14}}{3}.$

d) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

S = pr $\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{14}}{20}=\frac{\sqrt{14}}{2}.$

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng $\frac{\sqrt{14}}{2}.$